MAKALAH TENTANG VEKTOR

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan limpahan rahmat-Nya maka penulis dapat menyelesaikan sebuah karya tulis dengan tepat waktu.

Berikut ini penulis mempersembahkan sebuah makalah dengan judul "Vektor", yang menurut penulis dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita.  Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meminta maaf dan memohon permakluman bilamana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang penulis buat kurang tepat.

Dengan ini saya mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat.

Parigi, 16 Januari 2018

Penyusun

VEKTOR

1. PENGERTIAN VEKTOR

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Dalam matematika vektor digambarkan dalam bentuk garis lurus yang mempunyai panjang dan arah. Nilai besar vektor dinyatakan dengan panjang garis dan arahnya dinyatakan dengan tanda panah. Notasi vektor biasanya dengan menggunakan tanda anak panah diatasnya atau bisa juga dengan menggunakan hurup kecil yang tebal. Suatu vektor biasanya juga bisa dinyatakan dengan pasangat terurut bilangan real atau bisa juga dengan menggunakan matriks kolom,

Misalnya : ã = (2, 3)  =   2

                                  3

Contoh : Pada balok di bawah ini, tentukan vektor lain yang sama dengan vektor!

2.  VEKTOR PADA BIDANG DIMENSI DUA

VEKTOR POSISI

Vektor posisi yaitu vektor yang posisi (letaknya) tertentu. Misalnya merupakan vektor posisi dimana pangkalnya di titik A dan ujungnya di titik B. Atau misalnya yaitu vektor posisi yang awalnya di titik pusat dan ujungnya di titik A. Vektor posisi dan seterusnya biasanya diwakili oleh vektor dengan huruf kecil misalnya dan sebagainya. Jadi ,

Contoh 2 : Jika titik A(1,2) dan B(5,9) maka tentukan  AB!

Penyelesaian :

AB = (9 – 2 , 5 – 1) = ( 7, 4 )

VEKTOR NEGATIF (VEKTOR INVERS)

Vektor negatif (invers) dari vector sering ditulis yaitu vektor yang panjangnya sama tetapi arahnya berlawanan.

PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR

Jika k suatu bilangan real maka adalah suatu vektor yang panjangnya k kali lipat panjang . Jika k positif maka searah dengan dan jika k negatif maka berlawanan arah dengan .

PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan 2 vektor dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu aturan segitiga dan dengan aturan jajargenjang. Penjumlahan 2 vektor dengan aturan segitiga yaitu dengan mempertemukan ujung vektor yang satu dengan awal vektor yang lain , sehingga resultan (hasil penjumlahan vektor) kedua vektor adalah awal vektor yang satu ke ujung vektor yang lain . Sedangkan penjumlahan dengan aturan jajargenjang yaitu dengan mempertemukan kedua awal vektor, kemudian membuat vektor kembarannya pada masing-masing ujung kedua vektor sehingga membentuk suatu bangun jajargenjang. Resultan kedua vektor adalah awal pertemuan kedua vektor tersebut ke ujung pertemuan kedua vektor tersebut.

Contoh 3 : Tentukan dari vektor-vektor di bawah ini !

 Penyelesaian : Cara I (aturan segitiga) :

Cara II (aturan jajargenjang) :

Penjumlahan untuk 3 vektor atau lebih digunakan aturan poligon yang merupakan pengembangan dari aturan segitiga.

Contoh 4 : Tentukan dari vektor-vektor di bawah ini :

SELISIH DUA VEKTOR

Selisih dua vector dan ditulis dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan (vektor invers b. Jadi .

Contoh 5 : Tentukan a – b jika diketahui :

 

3. VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG BERDIMENSI-3

Sistem koordinat segi empat dalam ruang berdimensi-3 memiliki tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus, diberi nama sumbu x, y dan z. Setiap pasangan koordinat menentukan suatu bidang yang disebut bidang koordinat, yaitu bidang-xy, bidang-xz dan bidang-yz. Untuk setiap titik P dalam ruang berdimensi-3 diberikan tiga pasangan terurut (x, y, z) yang disebut koordinat titik P. Berikut contoh penyusunan titik-titik yang koordinatnya adalah (4, 5, 6) dan    (-3, 2, -4)

Sistem koordinat dalam ruang berdimensi-3 mempunyai dua kategori, yaitu sistem tangan-kiri dan tangan-kanan. Berikut ilustrasinya.

Dalam pembahasan disini hanya akan digunakan sistem tangan-kanan.

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, mengenai komponen suatu vektor dalam ruang berdimensi-2, maka didapat pula pernyataan untuk komponen untuk vektor-vektor dalam ruang berdimensi-3 sebagai berikut

v =      dan      w =

Dua vektor v dan w ekuivalen jika dan hanya jika  ,  dan

v+w =

kv =   dan

v-w =

Contoh:  Jika v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1), maka

v+w = (5, -1, 3)  2v = (2, -6, 4)  -w = (-4, -2, -1) dan v-w = (-3, -5, 1)

Kadang suatu vektor titik pangkalnya tidak berada dititik asal. Jika vektor  mempunyai titik pangkal  dan titik ujung  , maka 

Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut.

Vektor   adalah selisih vektor   dan vektor , sehingga

Jadi komponen  diperoleh dengan pengurangan koordinat titik pangkal dari koordinat titik ujung.

Pergeseran Sumbu

Penyelesaian atas banyak permaslahan bisa disederhanakan dengan menggeser sumbu koordinat untuk memperoleh sumbu baru yang sejajar dengan sumbu aslinya. Berikut adalah ilustrasinya.

Pada gambar diatas, sumbu suatu sistem koordinat-xy telah digeser sehingga diperoleh suatu sistem koordinat-x’y’ yang titik asalnya adalah O’ yang berada pada titik (k, l) dalam koordinat-xy. Suatu titik P pada ruang berdimensi-2 sekarang mempunyai koordinat (x, y) dan (x’, y’). Untuk melihat kaitan antar kedua koordinat tersebut, tinjau vektor O’P . Pada sistem koordinat-xy titik pangkalnya adalah (k, l) dan titik ujungnya adalah (x, y), sehingga O’P = (x-k, y-l). Sedangkan pada sistem koordinat-x’y’ titik pangkalnya adalah (0,0) dan titik ujungnya adalah (x’, y’), sehingga O’P = (x’, y’). Oleh karena itu diperoleh x’ = x-k dan y’ = y-l

Rumus tersebut dinamakan persamaan pergeseran.

Contoh: Anggap suatu sistem koordinat-xy digeser sehingga diperoleh suatu sistem koordinat-x’y’ yang titik asalnya mempunyai koordinat-xy (k, l) = (4, 1)

a)    Carilah koordinat-x’y’ dari titik dengan koordinat –xy P(2, 0)

b)    Carilah koordinat-xy dari titik dengan koordinat-x’y’ Q(-1, 5)

Penyelesaian:

a)    Persamaan pergeserannya adalah x’ = x-4 dan y’ = y-1. Sehingga koordinat-x’y’ dari titik P adalah x’ = 2-4 = -2 dan y’ = 0-1 = -1. Jadi dalam koordinat-x’y’ P(-2, -1)

b)    Persamaan pergeseran dapat ditulis pula menjadi x = x’+4 dan y = y’+1. Sehingga koordinat-xy dari titik Q adalah x =-1+4 = 3 dan y = 5+1 =6. Jadi dalam koordinat-xy Q(3, 6).

4. PERBANDINGAN RUAS GARIS BERARAH

Misalkan titik P pada garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n. Perhatikan gambar di bawah ini !

                A         m

                                      P

                                                 n

                                                                    B  

                                                                    O

      

       Jadi :

                         

       Jadi jika titik  maka  koordinat :

                            

       Titik P bisa membagi AB dengan perbandingan di dalam seperti di atas atau bisa juga dengan perbandingan di luar, maksudnya titik P di luar ruas garis AB. Jika arah perbandingannya berlawanan harus dengan menggunakan tanda negatif.

5. PANJANG VEKTOR

Panjang sebuah vektor adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung vektornya. Karena secara aljabar, titik pangkal vektor dan titik ujung vektor dalam bentuk koordinat baik dimensi dua maupun dimensi tiga, maka panjang vektor dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak dua titik. Misalkan ada titik A(x1,y1) dan B(x2,y2), maka jarak titik A ke titik B dapat dihitung dengan rumus jarak yaitu sama dengan √(x2−x1)2+(y2−y1)2,  Karena panjang vektor bisa dihitung dengan rumus jarak, maka panjang vektor AB→ akan sama dengan panjang vektor BA→. Panjang vektor AB→ dilambangkan dengan |AB→|.

6. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

Untuk memahami tentang perkalian titik, perhatikan gambar di bawah ini

Perkalian titik dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A . B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang searah vektor A.pada gambar di  atas, komponen vektor B yang searah vektor A adalah B cos α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian titik antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:

A . B = AB cos α = |A||B| cos α

Keterangan:
α	= sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o
A	= |A| besar vektor A
B	= |B| besar vektor B

Dari definisi perkalian titik tersebut dapat disimpulkan bahwa:

Hasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar.

Simbol dari perkalian titik adalah (.) yang sering disebut perkalian titik (dot product). Karena hasil perkalian adalah skalar maka perkalian titik disebut juga dengan scalar product.

Dalam perkalian titik, ada 3 poin penting yang perlu diingat, yaitu:

1.	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka
	A . B = 0 → cos 90o = 0
2.	Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka
	A . B = AB → cos 0o = 1
3.	Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (α = 180o) maka
	A . B = - AB → cos 180o = -1

Perkalian Titik Pada Vektor Satuan

Perhatikan gambar di SAMPING, vektor satuan i, j, dan k merupakan vektor yang saling tegak lurus satu sama lain dengan kata lain besar α = 90^o dan nilai ketiga vektor tersebut adalah 1. Maka hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut adalah sebagai berikut:

i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 (berhimpit)

i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 (tegak lurus)

Dengan menggunakan hasil perkalian titik pada vektor satuan di atas, kita dapat mencari hasil perkalian titik suatu vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor berikut ini:

A = A_xi + A_yj + A_zk

B = B_xi + B_yj + B_zk

Hasil perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:

A . B	=	(Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)
A . B	=	Axi . Bxi + Axi .Byj + Axi . Bzk + Ayj . Bxi + Ayj .Byj + Ayj . Bzk + Azk . Bxi + Azk .Byj + Azk . Bzk
		→  karena i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 maka
A . B	=	Axi . Bxi + 0 + 0 + 0 + Ayj .Byj + 0 + 0 + 0 + Azk . Bzk
A . B	=	Axi . Bxi + Ayj . Byj + Azk . Bzk
		→  karena i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 maka
A . B	=	AxBx + AyBy + AzBz

Sifat Perkalian Titik

Perkalian titik memiliki sifat distributif, yaitu: A.(B + C) = A.B + A.C

Dan juga memiliki sifat komutatif, yaitu: A.B = B.A

 

Contoh Soal Perkalian Titik dan Pembahasannya

Sebuah vektor gaya dan perpindahan mempunya persamaan F = (2i + 3j + 5k) N dans = (4i + 2j – k) m. tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya!

Jawab:

Diketahui:

F = (2i + 3j + 5k)

s = (4i + 2j – k)

ditanya: usaha (W)

Usaha merupakan hasil perkalian titik antara gaya dengan perpindahan, jadi

W = F . s

W = (2i + 3j + 5k) . (4i + 2j – k)

W = (2)(4) + (3)(2) + (5)(-1)

W = 8 + 6 – 5

W = 9

Jadi usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah 9 joule.

7. BESAR SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

Sudut antara dua vektor dapat diketahui dari dua sisi, yaitu :

1.  Komponen Vektor

maka,
 

    2. Titik Koordinat
 

maka, 

Untuk menghitung sudut antara vektor a dan vektor b digunakan dot product kedua vektor. Sehingga kosinus sudut antara dua vektor adalah:

8. PROYEKSI SKALAR ORTHOGONAL

Proyeksi merupakan ilmu yang mempelajari tentang cara pandang objek dalam ruang dimensi tiga dalam gambar di ruang dimensi dua. Cara ini mempermudah kita untuk melihat objek yang terletak di ruang dimensi tiga. Pada proyeksi vektor, objek yang diproyeksikan berupa vektor, baik itu panjangnya atau vektor itu sendiri. Proyeksi dibedakan menjadi beberapa jenis, di antaranya adalah proyeksi ortogonal, aksonometri, proyeksi miring (oblique), dan perspektif.

Proyeksi ortogonal adalah cara pandang mata pada sebuah objek yang ditarik garis tegak lurus pada sebuah bidang datar. Terdapat dua proyeksi ortogonal yang akan di bahas pada pembahasan kali ini, yaitu proyeksi skalar dan vektor ortogonal. Perhatikan gambar dua proyeksi vektor dengan arah yang berbeda pada gambar di bawah

 Proyeksi Skalar Ortogonal
Proyeksi skalar ortogonal biasa disebut juga dengan proyeksi panjang vektor ortogonal. Dalam kata lainnya, objek proyeksi adalah panjang vektor. Rumus untuk menghitung panjang proyeksi skalar vektor ortogonal adalah sebagai berikut.

Proyeksi skalar ortogonal pada arah vektor .

   

Proyeksi skalar ortogonal pada arah vektor .

   

Proyeksi Vektor Ortogonal

Objek pada proyeksi skalar vektor ortogonal adalah panjang proyeksi vektor. Sedangkan pada proyeksi vektor ortogonal yang menjadi objek utamanya adalah vektornya. Vektor hasil proyeksi dapat ditentukan melalui rumus berikut.
 
Proyeksi vektor ortogonal pada .

   

Proyeksi vektor ortogonal pada .

   

 Contoh Soal dan Pembahasan

Panjang proyeksi ortogonal vektor pada adalah 4. Nilai p adalah

Pembahasan:
Mencari panjang vektor b:

   

   

   

Beradasrkan rumus proyeksi skalar (proyeksi panjang) ortogonal vektor dapat diperoleh persamaan berikut.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Jawaban: E